Понимание теорий провала Треска и Мизеса

Теории провала Треска и Мизеса относятся к области механики материалов и теории пластичности. Они описывают критерии начала пластического течения или разрушения материалов под действием нагрузок. Теория Треска Критерий Треска (третья теория прочности, гипотеза наибольших касательных напряжений) предполагает, что текучесть материала наступает, когда максимальное касательное напряжение достигает предельного значения для данного материала. То есть материал переходит в пластическое состояние, когда наибольшее касательное напряжение в точке тела достигает того же значения, что и при одноосном растяжении в момент текучести. Особенности критерия Треска: не учитывает среднее главное напряжение (σ_2), что вносит погрешность до 15%; основан на анализе главных напряжений и ориентирован на максимальное значение нормального напряжения; чаще применяется к материалам с ярко выраженным поведением при растяжении и сдвиге, например, к бетону, стеклу или некоторым полимерам, где важно контролировать развитие трещин; отличается простотой — линейной зависимостью от главных напряжений, что удобно для ручных расчётов. Критерий часто называют условием текучести Треска — Сен-Венана, так как Б. Сен-Венан использовал результаты Треска для построения первой математической теории пластичности. Теория Мизеса Критерий Мизеса (четвёртая теория прочности, энергетическая теория) основан на энергии формоизменения материала. Согласно этому критерию, пластическое течение начинается, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает предельного значения, определённого при одноосном растяжении. Особенности критерия Мизеса: учитывает все три главных напряжения; основан на энергетическом подходе — пластическая деформация начинается, когда искажённая энергия смещения достигает критического значения; формула критерия выражается через компоненты тензора напряжений и включает квадратный корень из суммы квадратов разностей главных напряжений; для пластичных металлов критерий Мизеса лучше согласуется с экспериментами, чем критерий Треска; часто используется в программах конечно-элементного анализа. Строгую математическую формулировку дал Рихард фон Мизес в 1913 году, а Г. Генки независимо пришёл к тому же результату в 1924 году. Поэтому в литературе встречаются названия: критерий Губера–Мизеса–Генки, критерий Максвелла–Хубера.