Математический анализ №3. Формулы производных через геометрию
Производная функции имеет геометрический смысл: значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Это следует из того, что касательная к графику функции в конкретной точке отражает значение производной в этой точке. Геометрический смысл производной Формула Пусть к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x = a можно провести касательную y = kx + b, которая не будет параллельна оси y. Тогда значение f'(a) производной функции в точке x = a будет выражать угловой коэффициент касательной: k = f'(a). Так как k = tg α, где α — угол наклона касательной, то верно равенство f'(a) = tg α. Важно: Если угол наклона касательной с положительным направлением оси x — острый (прямая направлена вверх), то угловой коэффициент касательной — положительное число, значит, и тангенс данного угла положительный. Если угол наклона касательной с положительным направлением оси x — тупой (прямая направлена вниз), то угловой коэффициент касательной — отрицательное число, значит, и тангенс данного угла отрицательный. Примеры Знание геометрического смысла производной используется в решении задач, например: На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Нужно найти значение производной функции f(x) в точке x₀. Решение: так как по геометрическому смыслу производной f'(x₀) = tg α, то нужно найти тангенс угла наклона касательной. Так как тангенс, по определению, — отношение противолежащего катета прямоугольного треугольника к прилежащему, то получаем f'(x₀) = tg α = 2/8 = 1/4. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Нужно найти значение производной функции f(x) в точке x₀. Решение: так как по геометрическому смыслу производной f'(x₀) = tg α, то нужно найти тангенс угла наклона касательной. Здесь нужно отметить, что угол между касательной и направлением оси Ox — тупой, следовательно, необходимо принять производную со знаком «минус». Получаем f'(x₀) = -tg α = -2/4 = -1/2.
![Иконка канала Veritasium [RU]](https://pic.rtbcdn.ru/user/2025-03-21/8e/08/8e084014e2df59bf75b37c4c9ea66b3b.jpg?size=s)
Производная функции имеет геометрический смысл: значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Это следует из того, что касательная к графику функции в конкретной точке отражает значение производной в этой точке. Геометрический смысл производной Формула Пусть к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x = a можно провести касательную y = kx + b, которая не будет параллельна оси y. Тогда значение f'(a) производной функции в точке x = a будет выражать угловой коэффициент касательной: k = f'(a). Так как k = tg α, где α — угол наклона касательной, то верно равенство f'(a) = tg α. Важно: Если угол наклона касательной с положительным направлением оси x — острый (прямая направлена вверх), то угловой коэффициент касательной — положительное число, значит, и тангенс данного угла положительный. Если угол наклона касательной с положительным направлением оси x — тупой (прямая направлена вниз), то угловой коэффициент касательной — отрицательное число, значит, и тангенс данного угла отрицательный. Примеры Знание геометрического смысла производной используется в решении задач, например: На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Нужно найти значение производной функции f(x) в точке x₀. Решение: так как по геометрическому смыслу производной f'(x₀) = tg α, то нужно найти тангенс угла наклона касательной. Так как тангенс, по определению, — отношение противолежащего катета прямоугольного треугольника к прилежащему, то получаем f'(x₀) = tg α = 2/8 = 1/4. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Нужно найти значение производной функции f(x) в точке x₀. Решение: так как по геометрическому смыслу производной f'(x₀) = tg α, то нужно найти тангенс угла наклона касательной. Здесь нужно отметить, что угол между касательной и направлением оси Ox — тупой, следовательно, необходимо принять производную со знаком «минус». Получаем f'(x₀) = -tg α = -2/4 = -1/2.