9 класс. Алгебра. Урок по прогрессиям
Сегодня мы обсудим такие темы: Определение арифметической прогрессии Формулы для арифметической прогрессии Определение геометрической прогрессии Формулы для геометрической прогрессии Примеры задач на прогрессии Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий элемент получается прибавлением к предыдущему некоторого фиксированного числа (разности прогрессии). Формулы: Определение: \( a_n = a_1 + (n - 1)d \) Сумма первых \( n \) членов: \( S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} \) Характеристическое свойство: каждый элемент является средним арифметическим своих соседей. Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на некоторое фиксированное число (знаменатель прогрессии). Формулы: Определение: \( b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \) Сумма первых \( n \) членов: \( S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \) Сумма бесконечной убывающей прогрессии (при \( |q| ﹤ 1 \)): \( S = \frac{b_1}{1 - q} \) Характеристическое свойство: каждый элемент является средним геометрическим своих соседей. Примеры задач 1. Компания Альфа и Бета начали инвестировать в разные отрасли. Альфа начала в 2001 году с капиталом 5000 долларов и получала прибыль 200% ежегодно. Бета начала в 2003 году с капиталом 10000 долларов и получала прибыль 400% ежегодно. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше, чем другой к концу 2006 года? 2. В сосуде имеется несколько одинаковых кранов, которые открываются один за другим через равные промежутки времени. Через 8 часов после включения последнего крана сосуд заполняется. Время, в течение которого были открыты первый и последний краны, относится как 5 к 1. Через сколько времени заполнится сосуд, если открыть все краны одновременно? Объективы урока Понимание определений арифметической и геометрической прогрессий Знание основных формул для работы с прогрессиями Умение применять эти формулы для решения задач ____________________________________ Школа «Алгоритм» для 0-11 классов в центре Москвы. – Мультиформатное обучение: очное, гибридное (очно+онлайн) и онлайн. – Российская школьная программа, билингвальные программы на английском и китайском языках, подготовка к международным экзаменам A-Level и HSK. Сайт школы: https://a-edu.ru?utm_source=rutube_lesson-channel г. Москва, Милютинский переулок, д.18, стр. 2
Сегодня мы обсудим такие темы: Определение арифметической прогрессии Формулы для арифметической прогрессии Определение геометрической прогрессии Формулы для геометрической прогрессии Примеры задач на прогрессии Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий элемент получается прибавлением к предыдущему некоторого фиксированного числа (разности прогрессии). Формулы: Определение: \( a_n = a_1 + (n - 1)d \) Сумма первых \( n \) членов: \( S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} \) Характеристическое свойство: каждый элемент является средним арифметическим своих соседей. Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на некоторое фиксированное число (знаменатель прогрессии). Формулы: Определение: \( b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \) Сумма первых \( n \) членов: \( S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \) Сумма бесконечной убывающей прогрессии (при \( |q| ﹤ 1 \)): \( S = \frac{b_1}{1 - q} \) Характеристическое свойство: каждый элемент является средним геометрическим своих соседей. Примеры задач 1. Компания Альфа и Бета начали инвестировать в разные отрасли. Альфа начала в 2001 году с капиталом 5000 долларов и получала прибыль 200% ежегодно. Бета начала в 2003 году с капиталом 10000 долларов и получала прибыль 400% ежегодно. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше, чем другой к концу 2006 года? 2. В сосуде имеется несколько одинаковых кранов, которые открываются один за другим через равные промежутки времени. Через 8 часов после включения последнего крана сосуд заполняется. Время, в течение которого были открыты первый и последний краны, относится как 5 к 1. Через сколько времени заполнится сосуд, если открыть все краны одновременно? Объективы урока Понимание определений арифметической и геометрической прогрессий Знание основных формул для работы с прогрессиями Умение применять эти формулы для решения задач ____________________________________ Школа «Алгоритм» для 0-11 классов в центре Москвы. – Мультиформатное обучение: очное, гибридное (очно+онлайн) и онлайн. – Российская школьная программа, билингвальные программы на английском и китайском языках, подготовка к международным экзаменам A-Level и HSK. Сайт школы: https://a-edu.ru?utm_source=rutube_lesson-channel г. Москва, Милютинский переулок, д.18, стр. 2