Цепные дроби, теоремы Лежандра и Фату, часть 2

Мы вновь с вами и возобновляем наш семинар в весеннем семестре. И начнём мы его с Великой теоремы Ф... Пусть нам дано какое-нибудь иррациональное число a. На семинарах вы все учились строить к нему подходящие дроби pn/qn. Возникает вполне логичный вопрос: как понять,что какая-то дробь c/b является той самой pn/qn для некоторого n? Не перебирать же! Оказывается, если c/b удовлетворяет неравенству: | a - c/b| ﹤ 1/(2b^2) То она автоматически подходящая. Внимательные читатели углядели, что это очень похоже на теорему Дирихле. В связи с этим, мы так же зададимся вопросом, а какие рациональные удовлетворяют: | a - c/b| ﹤ 1/(b^2) И увидим, как тут возникает "правильное" сложение дробей: p1/q1 + p2/q2 = (p1+p2)/(q1+q2), а также много красивейших тождеств. Именно на это и ответит Великая Теорема Фату.