158. Электрон — это бублик или гантель? Спин, матрицы Паули и Сферические функции.
Как связаны повороты в пространстве с моментом импульса электрона? Почему спин описывается матрицами Паули, а не обычными векторами? В этой лекции разбираем математический аппарат квантовой механики: от операторов поворота до шаровых функций, которые описывают форму электронных облаков в атоме водорода. ------------------------------------------------------------------------------- Канал «Научная Тематика»! Поддержать канал Донатом🧧💰👇. Перевод на карту: Сбер: 4817 7601 3927 9347 Т-банк: 2200 7017 8811 7452 Сервисы раннего доступа, смотри видео раньше и поддержи канал: Подписка на Boosty • https://boosty.to/ivanovskiy/donate Подписка на VK_Donut • https://vk.com/donut/ivanovskiysergey Канал в соцсетях👇 Телеграм • https://t.me/ivanovskiysergey ВК • https://vk.com/ivanovskiysergey Дзен • https://dzen.ru/ivanovskiysergey Rutube •https://rutube.ru/video/person/30197834 ------------------------------------------------------------------------------- В начале лекции рассматривается связь оператора поворота с моментом импульса. Когда мы поворачиваем систему координат на малый угол, волновая функция изменяется определённым образом. Разложив это изменение в ряд и применив математические преобразования, получаем фундаментальный результат: оператор поворота на бесконечно малый угол выражается через единичный оператор и оператор момента импульса. Это означает, что момент импульса является генератором поворотов в пространстве. Далее этот же подход применяется к спиновым состояниям частиц со спином одна вторая. Разлагая матрицы поворота вокруг осей X, Y и Z в ряд, получаем три знаменитые матрицы Паули. Оператор спина оказывается вектором, компонентами которого являются не числа, а именно эти матрицы. Для частиц с другими значениями спина матрицы будут иметь больший размер. Обсуждается важный исторический момент: Паули придумал свои матрицы для описания экспериментов, а позже Дирак показал, что они естественно возникают в релятивистском уравнении. Из уравнения Дирака также следует существование античастиц. Однако объединить квантовую механику с искривлённым пространством-временем общей теории относительности до сих пор не удаётся. Переходим к атому водорода. Поскольку кулоновский потенциал ядра зависит только от расстояния и не зависит от углов, задача обладает сферической симметрией. Это означает сохранение момента импульса, его проекции и энергии. Состояние электрона характеризуется тремя квантовыми числами: главным, орбитальным и магнитным. Для нахождения волновой функции используется уравнение Шрёдингера с оператором Лапласа в сферических координатах. Ключевой момент: угловая часть этого оператора совпадает с квадратом оператора момента импульса. Волновую функцию можно искать как произведение радиальной части на угловую. Вместо обращения к теории шаровых функций используется подход Ричарда Фейнмана. Шаровая функция интерпретируется как квантово-механическая амплитуда: если частица находится в состоянии с определёнными квантовыми числами, какова вероятность обнаружить её в заданном направлении после поворота системы координат? Вычисляются простейшие шаровые функции. Функция с нулевым моментом равна единице — это сферически симметричное состояние. Для момента равного единице получаются три функции, соответствующие разным проекциям. Квадраты их модулей дают форму электронных облаков: либо вытянутая вдоль оси гантель, либо тор, вращающийся вокруг ядра. Именно вращение тора создаёт магнитный момент электрона. В завершение обсуждаются планы: после атома водорода — излучение атомов, релятивистские поправки, таблица Менделеева, поведение атомов в электрическом и магнитном полях, молекулы и элементарные частицы. 0:00 Введение: завершение темы атома водорода 2:20 Связь оператора поворота с моментом импульса 11:04 Применение к спинам и вывод матриц Паули 20:49 Спин как вектор из матриц и уравнение Дирака 27:03 Атом водорода: сферическая симметрия и квантовые числа 33:24 Уравнение Шрёдингера в сферических координатах 39:07 Подход Фейнмана к шаровым функциям 47:51 Вычисление простейших шаровых функций 53:45 Форма электронных облаков: гантель и тор 59:19 Планы: от спектров к таблице Менделеева #квантоваямеханика #атомводорода #матрицыпаули #шаровыефункции #физика
Как связаны повороты в пространстве с моментом импульса электрона? Почему спин описывается матрицами Паули, а не обычными векторами? В этой лекции разбираем математический аппарат квантовой механики: от операторов поворота до шаровых функций, которые описывают форму электронных облаков в атоме водорода. ------------------------------------------------------------------------------- Канал «Научная Тематика»! Поддержать канал Донатом🧧💰👇. Перевод на карту: Сбер: 4817 7601 3927 9347 Т-банк: 2200 7017 8811 7452 Сервисы раннего доступа, смотри видео раньше и поддержи канал: Подписка на Boosty • https://boosty.to/ivanovskiy/donate Подписка на VK_Donut • https://vk.com/donut/ivanovskiysergey Канал в соцсетях👇 Телеграм • https://t.me/ivanovskiysergey ВК • https://vk.com/ivanovskiysergey Дзен • https://dzen.ru/ivanovskiysergey Rutube •https://rutube.ru/video/person/30197834 ------------------------------------------------------------------------------- В начале лекции рассматривается связь оператора поворота с моментом импульса. Когда мы поворачиваем систему координат на малый угол, волновая функция изменяется определённым образом. Разложив это изменение в ряд и применив математические преобразования, получаем фундаментальный результат: оператор поворота на бесконечно малый угол выражается через единичный оператор и оператор момента импульса. Это означает, что момент импульса является генератором поворотов в пространстве. Далее этот же подход применяется к спиновым состояниям частиц со спином одна вторая. Разлагая матрицы поворота вокруг осей X, Y и Z в ряд, получаем три знаменитые матрицы Паули. Оператор спина оказывается вектором, компонентами которого являются не числа, а именно эти матрицы. Для частиц с другими значениями спина матрицы будут иметь больший размер. Обсуждается важный исторический момент: Паули придумал свои матрицы для описания экспериментов, а позже Дирак показал, что они естественно возникают в релятивистском уравнении. Из уравнения Дирака также следует существование античастиц. Однако объединить квантовую механику с искривлённым пространством-временем общей теории относительности до сих пор не удаётся. Переходим к атому водорода. Поскольку кулоновский потенциал ядра зависит только от расстояния и не зависит от углов, задача обладает сферической симметрией. Это означает сохранение момента импульса, его проекции и энергии. Состояние электрона характеризуется тремя квантовыми числами: главным, орбитальным и магнитным. Для нахождения волновой функции используется уравнение Шрёдингера с оператором Лапласа в сферических координатах. Ключевой момент: угловая часть этого оператора совпадает с квадратом оператора момента импульса. Волновую функцию можно искать как произведение радиальной части на угловую. Вместо обращения к теории шаровых функций используется подход Ричарда Фейнмана. Шаровая функция интерпретируется как квантово-механическая амплитуда: если частица находится в состоянии с определёнными квантовыми числами, какова вероятность обнаружить её в заданном направлении после поворота системы координат? Вычисляются простейшие шаровые функции. Функция с нулевым моментом равна единице — это сферически симметричное состояние. Для момента равного единице получаются три функции, соответствующие разным проекциям. Квадраты их модулей дают форму электронных облаков: либо вытянутая вдоль оси гантель, либо тор, вращающийся вокруг ядра. Именно вращение тора создаёт магнитный момент электрона. В завершение обсуждаются планы: после атома водорода — излучение атомов, релятивистские поправки, таблица Менделеева, поведение атомов в электрическом и магнитном полях, молекулы и элементарные частицы. 0:00 Введение: завершение темы атома водорода 2:20 Связь оператора поворота с моментом импульса 11:04 Применение к спинам и вывод матриц Паули 20:49 Спин как вектор из матриц и уравнение Дирака 27:03 Атом водорода: сферическая симметрия и квантовые числа 33:24 Уравнение Шрёдингера в сферических координатах 39:07 Подход Фейнмана к шаровым функциям 47:51 Вычисление простейших шаровых функций 53:45 Форма электронных облаков: гантель и тор 59:19 Планы: от спектров к таблице Менделеева #квантоваямеханика #атомводорода #матрицыпаули #шаровыефункции #физика