Математический анализ №6. Неявное дифференцирование что здесь происходит

Неявное дифференцирование — это процесс дифференцирования, при котором дифференцируют неявную функцию без преобразования её в явную. Неявная функция задана уравнением, не разрешённым относительно y. Например, уравнение вида F(x, y) = 0, где y не может быть легко изолировано. Суть неявного дифференцирования: продифференцируют обе части заданного уравнения, рассматривая функцию y как функцию от x, а затем из полученного уравнения находят производную y'. Правила Уравнение F(x, y) = 0 дифференцируют слева направо. Используют все известные формулы и правила дифференцирования, с учётом того, что производная от x как от независимой переменной равна 1, а производная от y как от функции независимой переменной равна y'. Всюду, где встречается y, применяют цепное правило: d/dx(f(y)) = f’(y)·dy/dx. При дифференцировании произведений (xy, x²y и т. д.) используют правило: (uv)’ = u’v + uv’. Собирают все члены с dy/dx в одну сторону, выносят dy/dx за скобки, выражают dy/dx. Важно: неявное дифференцирование даёт корректный результат только в тех точках, где ∂F/∂y ≠ 0. В особых точках (например, узлах, точках возврата) производная может не существовать или быть неоднозначной. Примеры Найти производную y', если x² + y² = 25. Решение: дифференцируют обе части уравнения по x: 2x + 2y·y' = 0, выражают y': 2y·y' = -2x, y' = -x/y. Найти производную функции y(x), заданной уравнением y² + 2xy − x² + 5 = 0. Решение: продифференцируют по переменной x данное равенство: 2y·y' + 2(1·y + x·y') − 2x = 0, разрешают полученное уравнение относительно y': y' (y + x) = x − y, y' = x − y / (x + y).